逻辑

多个命题可以用联结词连在一起。三个最基本的联结词是：

1. 合取：\(P \land Q\)（\(P\) 与 \(Q\)）—— 仅当 \(P\) 和 \(Q\) 均为真时，结果才为真。
2. 析取：\(P \lor Q\)（\(P\) 或 \(Q\)）—— 只要 \(P\) 和 \(Q\) 中至少一个为真，结果即为真。
3. 否定：\(\lnot P\)（非 \(P\)）—— 当 \(P\) 为假时，结果为真。

像这样包含变量的语句被称为命题形式。

逻辑学术中有一个基本原则叫做排中律，它指出 \(P\) 和 \(\lnot P\) 必有一真，但不能同真；因此，无论 \(P\) 的真值如何，\(P \lor \lnot P\) 总是真的。这类无论变量真值如何都总是为真的命题形式被称为重言式。相反，像 \(P \land \lnot P\) 这样总是为假的语句被称为矛盾式。

也许最重要的联结词之一是蕴涵：

1. 蕴涵：\(P \implies Q\)（\(P\) 蕴涵 \(Q\)）—— 这等同于“如果 \(P\)，那么 \(Q\)。”

在这里，\(P\) 被称为蕴涵中的假设，而 \(Q\) 被称为结论。蕴涵的一个例子是：“如果你站在雨中，那么你会淋湿。”只有当 \(P\) 为真且 \(Q\) 为假的时候蕴涵才会为假：在上个例子中，只有当你站在雨中却没被淋湿时该命题才为假。请注意，不站在雨中却还被淋湿（即 \(P\) 为假但 \(Q\) 为真）不能证明该蕴涵为假。

最后，还有当且仅当联结词：

1. 双条件：\(P \iff Q\)（\(P\) 当且仅当 \(Q\)）—— 仅当 \(P \implies Q\) 和 \(Q \implies P\) 均为真时，结果才为真。

我们可以通过真值表来形式化联结词，真值表列出了所有可能的输入组合以及联结词产生的相应输出：

\(P\)	\(Q\)	\(P \land Q\)	\(P \lor Q\)	\(P \implies Q\)
真	真	真	真	真
真	假	假	真	假
假	真	假	真	真
假	假	假	假	真

我们可以通过逻辑等价将命题语句转换为其它用联结词的语句，这有助于我们对命题进行分析。例如，我们能转换“当且仅当”为利用“非”和“或”的命题：

\begin{align} P \implies Q \equiv \lnot P \lor Q \end{align}

我们可以利用自然语直观地理解这等价的真伪